Question

20．如图，在△ABC中，在BC上取点D，使CD=AB，点E在AC上，连接AD、DE，且AD=DE，∠BAD=∠CDE．
（1）求证：∠B=∠C；
（2）若∠DAE=∠DEA=∠B+30°，求∠ADB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠ADB=∠DEC，根据三角形的内角和、邻补角，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∠B=∠C；
（2）在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴∠ADB=∠DEC．
∴∠ADC=∠DEA
∵∠DAE=∠DEA=30°+∠B，
∴∠ADC=∠DEA=∠DAE=30°+∠B，
∴∠BAD=∠CDE=30°，
设∠ADC=∠DEA=∠DAE=y，∠ADB=∠DEC=x．得：
$\left\{\begin{array}{l}{180-2y+30=y①}\\{x+y=180②}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=110}\\{y=70}\end{array}\right.$．°
∴∠ADB=110°

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件选择相应的判定方法是解题关键；利用三角形的内角和、邻补角得出不等式组是解题关键．