Question

5．已知：如图，锐角△ABC的两条高BE，CD相交于点O，且BE=CD．
求证：（1）△ABC是等腰三角形；
（2）OD=OE．

Answer 1

分析 （1）利用HL可证明Rt△BEC≌Rt△CDB，可得∠ABC=∠ACB，由等腰三角形的判定可证明△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）可得∠OBC=∠OCB，则有OC=OB，且BD=CE，利用线段和差可得OD=OE．

解答 证明：
（1）∵BE，CD是三角形的两条高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{BE=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形；
（2）由（1）可知Rt△BEC≌Rt△CDB，
∴CE=BD，∠OBC=∠OCB，
∴OC=OB，
∴BD-OB=CE-OC，
即OD=OE．

点评 本题主要考查全等三角形判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．