Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，矩形AOCD的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点D的坐标为（6，4），点P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AO于E点．
（1）当点P坐标为（4，4）时，求点E的坐标；
（2）当点P坐标为（5，4）时，在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AO上运动，求OE的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明△APE≌△DCP即可；
（2）假设存在这样的点Q，根据△APE∽△DCP求出AE的长，再根据△QAE∽△CDQ列出比例式，求出AQ；
（3）设AP=x，AE=y，根据△APE∽△DCP，得到y与x的函数关系式，求出函数最大值得到答案．

解答 解：（1）∵∠EAD=∠EPC=∠PDC，
∴∠APE=∠DCP，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠DCP}\\{AP=CD}\\{∠PAE=∠CDP}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△DCP，
∴AE=PD=2，
∴点E（0，2）；
（2）存在这样的点Q，
假设存在这样的点Q，
∵∠EAP=∠EPC=∠PDC，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，
∵AP=5，CD=4，DP=1，
∴AE=$\frac{5}{4}$，
∵∠EAQ=∠EQC=∠QDC，
∴△QAE∽△CDQ，
∴$\frac{AQ}{CD}$=$\frac{AE}{DQ}$，
设AQ=x，$\frac{x}{4}$=$\frac{\frac{4}{5}}{6-x}$，
解得x=1或x=5，当x=5时点Q与点P重合，故舍去，
所以存在这样的点Q，其坐标为（1，4）；
（3）设AP=x，AE=y，
∵△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{6-x}$，
∴$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{3}{2}x$，
当x=3时（在0＜x＜6范围内），y_最大值=$\frac{9}{4}$，
又∵E在AB上运动，且AO=4，
∴OE的最小值为4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴OE的取值范围是$\frac{7}{4}$≤BE＜4．

点评 本题考查的是矩形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握性质并灵活运用性质进行解答是解题的关键，注意二次函数最值的确定方法．