Question

2．如图，一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．点C在y轴的正半轴上，且sin∠ACB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$ 
（1）求点C的坐标；
（2）在直线AB上有一点D，若满足∠CDB=∠ACB，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象的点的坐标得出OA=1，利用三角函数即可得出OC的长度，得出坐标即可；
（2）分当点D在AB的延长线时和当点D在BA的延长线上时两种情况进行分析解答．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x+1，
∴OA=1，
在Rt△OAC中，
∵sin∠ACB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴OC=3，
即C的坐标为（0，3）；
（2）①当点D在AB的延长线时，过点C作CE⊥AB于点E，如图1：
由直线AB表达式可得：OB=1，∠ABO=45°，
∴BC=2，∠CBE=45°，
在Rt△CBE中，可得：CE=BE=$\sqrt{2}$，BC=2，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CDE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴DE=3CE=3$\sqrt{2}$，
∴BD=BE+ED=4$\sqrt{2}$；
②当点D在BA的延长线上时，如图2：
由对称性可知，DE=3$\sqrt{2}$，
∴BD=DE-BE=2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查一次函数点的坐标，关键是根据一次函数图象的性质得出其点的坐标．