Question

1．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$
（1）观察上面的等式，请直接写出$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）的结果$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）计算（$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$）（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）=1；
（3）请利用上面的规律及解法计算：（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$）（$\sqrt{2017}+1$）．

Answer 1

分析 （1）利用分母有理化的方法解答；
（2）根据平方差公式计算即可；
（3）利用阅读材料的结论和二次根式的加减混合运算法则计算．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）（$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$）（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）=（$\sqrt{n+1}$）²-（$\sqrt{n}$）²=1，
故答案为：1；
（3）（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$）（$\sqrt{2017}+1$）
=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2016}$）（$\sqrt{2017}+1$）
=（$\sqrt{2017}$-1）（$\sqrt{2017}$+1）
=2017-1
=2016．

点评 本题考查的是分母有理化的应用，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．