Question

9．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是ycm²，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm．
（1）求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．

Answer 1

分析 （1）用含x的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽，根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式，结合题意标明x的取值范围即可；
（2）根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性，由此即可解决最值问题．

解答 解：（1）镶金色纸边后风景画的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，
∴y=（80+2x）•（50+2x）=4x²+260x+4000（1≤x≤2）．
（2）∵二次函数y=4x²+260x+4000的对称轴为x=-$\frac{260}{8}$=-$\frac{65}{2}$，
∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y取最大值，最大值为4536．
答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为4536cm²．

点评 本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）结合矩形的面积找出y关于x的函数解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．