如图.点B(3.3)在双曲线y=$\frac{k}{x}$上.点D在双曲线y=-$\frac{4}{x}$上.点A和点C分别在x轴.y轴的正半轴上.且点A.B.C.D构成的四边形为正方形．(1)求k的值,(2)求点A的坐标,问的情况下.是否存在x轴上的点M和反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的点N.使得四边形MCNB是平行四边形?如果存在.请求出点M和点N的坐标,如果不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图，点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点D在双曲线y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．

（1）求k的值；
（2）求点A的坐标；
（3）在（1）问的情况下，是否存在x轴上的点M和反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上的点N，使得四边形MCNB是平行四边形？如果存在，请求出点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）把B点坐标代入y=$\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）分别过B、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，可证得△ABE≌△DAF，可求得DF=AE，AF=BE，可求得OF=OD，再代入y=-$\frac{4}{x}$可求得D点坐标，则可求得OA的长，可求得A点坐标；
（3）由勾股定理可求得BD的长，可知AC的长，则可求得C点坐标，可求得BC的中点坐标，由四边形MCNB为平行四边形可知MN过BC与MN互相平分，设M点坐标为（x，0），则可表示出N点坐标，代入y=$\frac{k}{x}$可求得x的值，则可求得M、N的坐标．

解答解：
（1）∵点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴3=$\frac{k}{3}$，
∴k=9；
（2）分别过B、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠FDA+∠DAF=∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠FDA=∠BAE，
在△ABE和△DAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FDA}\\{∠BEA=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵B（3，3），
∴BE=OE=AF=3，
∴FO=AE=DF，
∴可设D点坐标为（x，-x）（x＜0），
∵点D在双曲线y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，
∴-x²=-4，解得x=2（舍去）或x=-2，
∴D（-2，2），
∴OF=2，
∴OA=AF-OF=3-2=1，
∴A（1，0）；
（3）∵B（3，3），D（-2，2），
∴BD=$\sqrt{[3-（-2）]^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD=$\sqrt{26}$，
∴OA²+OC²=26，即1²+OC²=26，解得OC=5，
∴C（0，5），
设BC的中点为H，则H（$\frac{3}{2}$，4），
∵四边形MCNB为平行四边形，
∴MN的中点也为H，
∵M在x轴上，
∴可设M（t，0），N（m，n），
则t+m=2×$\frac{3}{2}$=3，n=8，
∴N（3-t，8），
∵点N在反比例函数y=$\frac{9}{x}$（x＞0）上，
∴8（3-t）=9，解得t=$\frac{15}{8}$，
∴M（$\frac{15}{8}$，0），N（$\frac{9}{8}$，8），即存在满足条件的M、N．

点评本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，在（2）中证得OF=AE是解题的关键，即求得D点坐标，在（3）中注意BC的中点也是线段MN的中点是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．