Question

2．如图，在△ABC中，AB=BC=20cm，AC=30cm，点P从A向B运动，速度是4cm/s，点Q从C向A运动，速度是3cm/s，设运动时间为xs，（0＜x≤5）
（1）当x=$\frac{10}{3}$时，PQ∥BC，
（2）在（1）的条件下S_△BCQ：S_△ABC=1：3；S_△BPQ：S_△ABC=2：9；
（3）在P、Q运动的过程中，△APQ与△CQB能否相似，若能求出对应的x值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先用含x的式子表示出AP和AQ的长，由$\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$列方程求解即可；
（2）先求得AP，PB的长，从而得到AP：AB=AQ：QC=2：3，然后依据△BQC和△ABC为等高的三角形，从而可得到S_△BCQ：S_△ABC=QC：AC，同理可得到S_△ABQ=$\frac{2}{3}$S_△ACB，S_△BPQ=$\frac{1}{3}$S_△ABQ，故可求得S_△BPQ：S_△ABC的值；
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

解答 解：（1）由题意可知AP=4x，QC=3x，则AQ=30-3x．
∵当$\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$时，PQ∥BC，
∴$\frac{4x}{30-3x}=\frac{20}{30}$，解得：x=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．
（2）∵x=$\frac{10}{3}$，
∴AP=$\frac{40}{3}$，PB=20-$\frac{40}{3}$=$\frac{20}{3}$．
∴AP：PB=AQ：QC=2：1．
∴QC：AC=1：3．
∴S_△BQC=$\frac{1}{3}$S_△ACB．
∴S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∵AQ：AC=2：3，
∴S_△ABQ=$\frac{2}{3}$S_△ACB．
∵AP：AB=2：3，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{3}$S_△ABQ=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$S_△ACB=$\frac{2}{9}$S_△ACB，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9，
故答案为：1：3；2：9．
（3）情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即$\frac{3x}{4x}=\frac{20}{30-3x}$，解得x=$\frac{10}{9}$，
经检验，x=$\frac{10}{9}$是原分式方程的解．
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即$\frac{3x}{30-3x}=\frac{20}{4x}$，解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
综上所述：当x=$\frac{10}{9}$或x=5时，△APQ与△CQB相似．

点评 本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题需要同学们熟练掌握相似三角形的性质和判定定理，找出图形中等高的三角形的是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．