Question

13．如图，点E、F分别在直线AB、CD上，连接EF，分别作∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H，得到的四边形EFGH为矩形．
（1）求证：AB∥CD．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过点G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过点H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP．此时，他猜想四边形MNQP是菱形．请补全他的证明思路．
小明的证明思路：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF易证，四边形MNQP是平行四边形．要证?MNQP是菱形，只要证MN=NQ．由已知条件FG平分∠CFE，MN∥EF，可得GN=FN，故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，由于易证GE=FH，∠GME=∠FQH，故要证△MGE≌△QFH，只要证∠MGE=∠QFH，由∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．
（3）请你再写出一条菱形的判定定理．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到∠EGF=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要证?MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH得出即可；
（3）写出写出一条菱形的判定定理即可．

解答 （1）证明：∵四边形EGFH为矩形，
∴∠EGF=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
∵GE，GF分别是∠AEF，∠NFE的平分线，
∴∠AEF+∠NFE=180°，
∴AB∥CD；

（2）解：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，
要证?MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH，
故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证；
故答案为：FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH；

（3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

点评 此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱形的方法是解题关键．