Question

3．如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CG⊥EF于G，DF、CG交于H，GH=1，∠ADF=∠FCG，求AF的长．

Answer 1

分析 先证明△EHD≌△CHF，得EH=CH，则H是EC的中点；再证明△EGC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EC的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，得AF=EC=2．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD，FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED=FC，
∵∠EHD=∠CHF，
∴△EHD≌△CHF，
∴EH=CH，
∵CG⊥EF，
∴△EGC是直角三角形，
∴GH=$\frac{1}{2}$EC，
∵GH=1，
∴EC=2，
同理得AE=FC，AE∥FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=EC=2．

点评 本题考查了平行四边形的性质，明确平行四边形对边相等且平行，根据对边平行可以得出角的关系；与三角形全等相结合证明边相等；同时也运用了直角三角形斜边中线的性质．