Question

14．（1）如图1，△ABC与△ADE均为等边三角形，点D在BC上，连接CE，求证：BD=CE．
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：BE∥DF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，求出∠BAD=∠CAE，证出△BAD≌△CAE即可．
（2）证明△ABE≌△CDF，得出∠AEB=∠CFD，即∠BEC=∠DFA，进而得出DF∥BE．

解答 （1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°（等边三角形的性质），
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD（等式性质），
∴∠BAD=∠CAE（等量代换），
在△BAD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD（全等三角形对应边相等）．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEB+∠BEC=180°，∠CFD+∠AFD=180°
∴∠BEC=∠AFD
∴BE∥DF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质、等边三角形的性质的应用；熟练掌握等边三角形的性质和平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．