Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，且∠B=90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：存在型

分析：连结AD，作∠ABC的平分线交AC于O，作OH⊥BC于H，如图，易证得△ABC≌△ADC，则∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，所以AC平分∠BAC和∠BCD，加上OB平分∠ABC，根据角平分线性质得到点O到四边形ABCD的各边的距离相等，则可判断四边形ABCD存在内切圆，内切圆的圆心为点O，半径为OH，接着证明△OBH为等腰直角三角形得到OH=BH，设OH=r，则BH=r，CH=8-r，然后证明△COH∽△CAB，利用相似比可计算出r．

解答：解：存在．
连接AC，作∠ABC的平分线交AC于O，作OH⊥BC于H，如图，
在△ABC和△ADC中，

AB=AD CB=CD AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∴AC平分∠BAD和∠BCD，
∵OB平分∠ABC，
∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，
∴四边形ABCD存在内切圆，内切圆的圆心为点O，半径为OH，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBH=45°，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴OH=BH，
设OH=r，则BH=r，CH=8-r，
∵OH∥AB，
∴△COH∽△CAB，
∴

OH

AB

=

CH

CB

，即

r

6

=

8-r

8

，
∴r=

24

7

，
即四边形ABCD的内切圆的半径为

24

7

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质．