Question

阅读下列材料：1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4），
由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

 

；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5=

 

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：由题意可得规律：n×（n+1）=

1

3

[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]．进一步利用规律解答即可．

解答：解：1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）；
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）；
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）；
…
10×11=

1

3

（10×11×12-9×10×11）；
…
n×（n+1）=

1

3

[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+

1

3

（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

（10×11×12-9×10×11）
=

1

3

（10×11×12）=440；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+

1

3

（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]
=

1

3

[n×（n+1）×（n+2）]；

（3）1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）；
2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）；
3×4×5=

1

4

（3×4×5×6-2×3×4×5）；
1×2×3+2×3×4+3×4×5
=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）+

1

4

（3×4×5×6-2×3×4×5）
=

1

4

（3×4×5×6）
=90．

点评：此题考查数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．