Question

3．等腰三角形三边的长为2、2、b，若关于x的方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的两根之差的绝对值为$2\sqrt{5}$，则等腰三角形的底角的度数是（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 设方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的两根为m、n，根据根与系数的关系得到m+n=$\sqrt{2}$b，mn=1，由|m-n|=2$\sqrt{5}$变形得到（m+n）²-4mn=20，则（$\sqrt{2}$b）²-4=20，解得b=2$\sqrt{3}$或b=-2$\sqrt{3}$（舍去），如图，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，然后根据余弦的定义可求出∠B的度数．

解答 解：设方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的两根为m、n，则m+n=$\sqrt{2}$b，mn=1，
而|m-n|=2$\sqrt{5}$，
所以（m-n）²=20，则（m+n）²-4mn=20，
（$\sqrt{2}$b）²-4=20，解得b=2$\sqrt{3}$或b=-2$\sqrt{3}$（舍去），
所以等腰三角形三边的长为2、2、2$\sqrt{3}$，
如图，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
作AD⊥BC于D，则BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
所以cosB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以∠B=30°．
故选A．

点评 本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了等腰三角形的性质．