Question

13．如图，在矩形ABCD中，E、F为边CD上的两点，且DE=EF=FC，连结AE、BF，并延长AE，BF相交于G
（1）求证：AE=BF；
（2）若EG=3，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质求出∠D=∠C=90°，AD=BC，根据全等三角形的判定推出△ADE≌△BCF即可；
（2）根据矩形的性质得出AB∥CD，AB=CD，求出$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，证△GEF∽△GAB，根据相似三角形的性质得出比例式，求出AG，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{DE=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=EF=FC，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB∥CD，
∴△GEF∽△GAB，
∴$\frac{EG}{AG}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵EG=3，
∴AG=9，
∴AE=9-3=6．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△ADE≌△BCF和△GEF∽△GAB是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．