Question

19．如图，点P的坐标为（2，0），点B在直线y=x+m上运动，当线段PB最短时，PB的长度是$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．

Answer 1

分析 当线段PB最短时，PB与直线y=x+m垂直，根据解析式即可求得C、D的坐标，然后根据勾股定理求得CD，然后根据三角形相似即可求得PB的最短长度．

解答 解：当线段PB最短时，PB⊥CD，如图所示：
由直线y=-x+m可知，直线与坐标轴的交点为C（-m，0），D（0，m），
∴OC=m，OD=m，
∴CD=$\sqrt{2}$m，
∵点P的坐标为（2，0），
∴PC=2+m，
∵∠PCB=∠DCO，∠PBC=∠DOC=90°，
∴△PBC∽△DOC，
∴$\frac{PB}{OD}=\frac{PC}{CD}$，即$\frac{PB}{m}=\frac{2+m}{\sqrt{2}m}$，
∴PB=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．
故答案为：$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．

点评 本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键．