Question

2．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1．
例2：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$
利用以上结论解答以下问题：
（1）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$
（3）拓展提高，求下列式子的值．
$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2017}}$．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据规律可得$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，再计算即可；
（3）由规律可得$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）再计算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；
（2）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$，
=$\sqrt{100}$-1，
=10-1，
=9；
（3）原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2015}}{2}$，
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2015}$），
=$\frac{1}{2}$（-1+$\sqrt{2017}$）
=$\frac{\sqrt{2017}-1}{2}$．

点评 本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的求法是解题的关键．