Question

11．在平面直角坐标系中，点A（-2，0）、B（6，0）以AB为斜边在x轴的上方作一等腰直角△ABC，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）动点E以每秒2个单位的速度从A点出发，沿x轴正方向，向终点B运动（不含端点A、B），连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交射线CD于点G，求线段DG与运动时间t的关系，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥CE交射线CE于点N，交射线CD于点M，当t为何值时，线段CM=5，求此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质，求出AD、DB、CD即可解决问题．
（2）分两种情形讨论：首先证明△ECD≌△GBD，推出DE=DG，①当0＜t≤2时，DG=DE=4-2t．②如图2中，当2＜t＜4时，同理可证△CDE≌△BDG，可得DG=DE=2t-4．
（3）如图3中，首先证明△ADM≌△CDE，推出ED=DM=1，推出AE=3，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵A（-2，0），B（6，0），
∴AB=8，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AD=DB=4，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴点C坐标（2，4）．

（2）如图1中，∵CD⊥AB，BF⊥CE，
∴∠CDA=∠BFE=90°，
∴∠DBG+∠BOF=90°，∠ECD+∠CED=90°，
∴∠DBG=∠ECD，
在△ECD和△GBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠DBG}\\{CD=DB}\\{∠CDE=∠BDE=90°}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GBD，
∴DE=DG，
∴当0＜t≤2时，DG=DE=4-2t．
如图2中，当2＜t＜4时，同理可证△CDE≌△BDG，可得DG=DE=2t-4，

综上所述，DG=$\left\{\begin{array}{l}{4-2t}&{（0＜t≤2）}\\{2t-4}&{（2＜t＜4）}\end{array}\right.$．

（3）如图3中，

∵CM=5，CD=4，
∴DM=1，
∵CN⊥AM，CD⊥AB，
∴∠CNM=∠ADC=∠ADM=90°，
∴∠DAM+∠M=90°，∠ECD+∠M=90°，
∴∠DAM=∠ECD，
在△ADM和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠DCE}\\{AD=CD}\\{∠ADM=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDE，
∴ED=DM=1，
∴AE=3，
∴t=$\frac{3}{2}$s．
∴当t为$\frac{3}{2}$s时，线段CM=5，此时点E的坐标为（1，0）．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．