题目内容
19．
如图，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，点Q以每秒1个单位的速度从B向A运动，同时点P以每秒2个单位的速度从B→C→A方向运动，它们到A点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）当点P在线段BC上运动时，求点P到直线AB的距离d与时间t的函数关系式；
（2）在运动过程中，求P，Q两点间距的最大值；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQB与△APB相似？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）当P到达C时，所用时间为5s，过点P作PD⊥AB于点D，利用相似三角形的性质即可求出d与t的关系式；
（2）分点P在BC上运动，点P在AC上运动两种情况进行讨论．利用勾股定理求出PQ的表达式．
（3）分点P在BC上运动，点P在AC上运动两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求出t的值．
解答 解：（1）由勾股定理可知：BC=10，
当P在BC上运动时，0≤t≤5，
过点P作PD⊥AB于点D，
∴PD∥AC，
∴△PBD∽△CBA，
∴$\frac{PD}{AC}=\frac{PB}{BC}$，
∵PD=d，AC=6，PB=2t，BC=10，
∴$\frac{d}{6}=\frac{2t}{10}$，
∴d=$\frac{6}{5}$t（0≤t≤5）；
（2）
当0≤t≤5，如图2，
由（1）可知：$\frac{BD}{AB}=\frac{PB}{BC}$，
∴BD=$\frac{8}{5}$t，
∵BQ=t，
∴DQ=BD-BQ=$\frac{3}{5}t$，
∴由勾股定理可知：PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，
∴当t=5时，PQ最大值为3$\sqrt{5}$；
当5≤t≤8时，如图3
∴
BQ=t，AQ=8-t，
AP=6+10-2t=16-2t，
∴由勾股定理可知：PQ=${\sqrt{（16-2t）^{2}+（8-t）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{5{t}^{2}-80t+320}$=$\sqrt{5（t-8）^{2}}$
当t=5时，PQ最大值为3$\sqrt{5}$，
综上所述，当t=5时，此时PQ最大，最大值为3$\sqrt{5}$；
（3）当0≤t≤5时，
若$\frac{BQ}{BP}=\frac{AB}{BP}$或$\frac{BQ}{BP}=\frac{BP}{AB}$时，
则△PQB∽△APB，
∴$\frac{t}{2t}=\frac{8}{2t}$或$\frac{t}{2t}=\frac{2t}{8}$，
∴解得t=8（舍去）或t=2；
当5≤t≤8时，
此时△APB时直角三角形，△PQB时钝角三角形，
此时△PQB与△APB不相似．
综上所述，t=2；
点评 本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的性质，分类讨论的思想，综合程度较高．
如图，已知点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，且CD=$\frac{1}{3}$AC，若AB=18cm，求BD的长．