如图.二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(1.0).且当x=0和x=-2时所对应的函数值相等．(1)求此二次函数的表达式,(2)设抛物线与x轴的另一交点为点B.与y轴交于点C.在这条抛物线的对称轴上是否存在点D.使得△DAC的周长最小?如果存在.求出D点的坐标,如果不存在.请说明理由．(3)设点M在第二象限.且在抛物线上.如果△MBC的面积最大.求此时点M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象（抛物线）与x轴交于A（1，0），且当x=0和x=-2时所对应的函数值相等．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积．

分析（1）先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；
（2）连结BC交直线x=-1于点D，则DB=DA，根据两点之间线段最短可判断此时DA+DC最小，△ADC的周长最小，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后计算自变量为-1所对应的函数值即可得到D点坐标；
（3）作MN∥y轴交BC于N，如图，设M（t，-t²-2t+3）（-3＜x＜0），则N（t，t+3），利用S_△BCM=S_△MNB+S_△NMC可得到△MBC的面积=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t，然后利用二次函数的性质求解．

解答解：（1）∵当x=0和x=-2时所对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∴抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；
（2存在．
连结BC交直线x=-1于点D，则DB=DA，
∴DC+DA=DC+DB=BC，
∴此时DA+DC最小，△ADC的周长最小，
当x=0时，y=-x²-2x+3=3，则C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+m，
把B（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=x+3=2，
∴D点坐标为（-1，2）；
（3）作MN∥y轴交BC于N，如图，
设M（t，-t²-2t+3）（-3＜t＜0），则N（t，t+3），
S_△BCM=S_△MNB+S_△NMC
=$\frac{1}{2}$•3•MN
=$\frac{3}{2}$（-t²-2t+3-t-3）
=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t
=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当t=-$\frac{3}{2}$时，△MBC的面积的最大值为$\frac{27}{8}$，
此时M点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．