Question

6．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=4，OB=3，点C在边OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）

• A． $-\frac{5}{4}$
• B． $-\frac{5}{3}$
• C． $-\frac{5}{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM=PN=r，再利用面积法求出r=$\frac{1}{2}$，接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC=NB=$\frac{1}{2}$，于是得到P点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$），然后把P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$可求出k的值．

解答 解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PM=PN=r，
∵OA=4，OB=3，AC=1，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_△PAB+S_△PAC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•5r+$\frac{1}{2}$•r•1=$\frac{1}{2}$•3•1，解得r=$\frac{1}{2}$，
∴BN=$\frac{1}{2}$，
∵OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∴NC=NB=$\frac{1}{2}$，
∴ON=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
把P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{5}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．