Question

17．（1）先化简，再求值：$\frac{a-2}{{{a^2}-1}}$÷（a-1-$\frac{2a-1}{a+1}}$），其中a=4；
（2）已知实数a满足a²+2a-15=0，求$\frac{1}{a+1}$-$\frac{a+2}{{{a^2}-1}}$÷$\frac{{（{a+1}）（{a+2}）}}{{{a^2}-2a+1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先化简括号内的式子，再根据有理数的除法可以化简题目中的式子，然后将a=4代入化简后的式子即可解答本题；
（2）先化简题目中的式子，然后根据a²+2a-15=0，可以解答本题．

解答 解：（1）$\frac{a-2}{{{a^2}-1}}$÷（a-1-$\frac{2a-1}{a+1}}$）
=$\frac{a-2}{（a+1）（a-1）}÷\frac{（a-1）（a+1）-（2a-1）}{a+1}$
=$\frac{a-2}{（a+1）（a-1）}×\frac{a+1}{{a}^{2}-1-2a+1}$
=$\frac{a-2}{（a+1）（a-1）}×\frac{a+1}{a（a-2）}$
=$\frac{1}{a（a-1）}$，
当a=4时，原式=$\frac{1}{4×（4-1）}=\frac{1}{12}$；
（2）$\frac{1}{a+1}$-$\frac{a+2}{{{a^2}-1}}$÷$\frac{{（{a+1}）（{a+2}）}}{{{a^2}-2a+1}}$
=$\frac{1}{a+1}-\frac{a+2}{（a+1）（a-1）}×\frac{（a-1）^{2}}{（a+1）（a+2）}$
=$\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{（a+1）^{2}}$
=$\frac{a+1-a+1}{（a+1）^{2}}$
=$\frac{2}{{a}^{2}+2a+1}$，
∵a²+2a-15=0，
∴a²+2a=15，
∴原式=$\frac{2}{15+1}=\frac{1}{8}$．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．