Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC可得出∠ABC=∠ACB，再根据外角的性质结合角平分线的定义即可得出∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAF=∠ABC，又全等三角形的判定定理（AAS）即可证出△ABC≌△CDA；
（2）由AB=AC、∠B=60°即可得出△ABC为等边三角形，再根据△ABC≌△CDA即可得出△ACD为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AB=BC=CD=AD，结合菱形的判定定理即可得出结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠CAF=∠ABC+∠ACB，
∵AD是△ABC外角的平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAF=∠ABC．
在△ABC和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ABC}\\{∠ACD=∠BAC}\\{CA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC．
∵△ABC≌△CDA，
∴△ACD为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）熟练掌握全等三角形的判定定理；（2）熟练掌握菱形的判定定理．