Question

14．如图，在?ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=30°，点P从点A出发沿线段AB以1m/s的速度向B点移动．
（1）当P点运动了几秒时，△PBC为等腰三角形？
（2）是否存在一点P，使S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_?ABCD？若存在求AP的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出BP=BC=6，得出AP=AB-BP=8-6=2，求出t=2即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD=BC=6cm，过D作DH⊥AB于H，由含30°角的直角三角形的性质得出DH=$\frac{1}{2}$AD=3cm，求出?ABCD的面积=AB•DH=24，得出△PBC的面积=$\frac{1}{2}$BP•DH=8，求出BP=$\frac{16}{3}$cm，即可得出AP的长．

解答 解：（1）∵△PBC是等腰三角形，
∴BP=BC=6，
∴AP=AB-BP=8-6=2，
∴t=2，
即当P点运动了2秒时，△PBC为等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6cm，过D作DH⊥AB于H，
∵∠A=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=3cm，
∴?ABCD的面积=AB•DH=8×3=24，
∴△PBC的面积=$\frac{1}{3}$×24=8=$\frac{1}{2}$BP•DH，
∴BP=$\frac{16}{3}$，
∴AP=AB-BP=8-$\frac{16}{3}$=$\frac{8}{3}$（cm）．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．