Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）将A，B点坐标代入函数y=x²+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．

（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．

（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．

【解答】方法（1）：

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得，

∴y=x²﹣x﹣4．

∴C（0，﹣4）．

 

（2）存在．

如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，

∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，

设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=|﹣x|，

∴在Rt△EDQ中，（﹣x）²+（）²=x²，解得 x=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0），

说明点E在x轴的负半轴上；

②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

③当AE=AQ=4时，

1．当E在A点左边时，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

2．当E在A点右边时，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

 

（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣，﹣）．理由如下：

如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四边形AQDP为菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴，

∴AF=，FQ=，

∴Q（3﹣，﹣），

∵DQ=AP=t，

∴D（3﹣﹣t，﹣），

∵D在二次函数y=x²﹣x﹣4上，

∴﹣=（3﹣t）²﹣（3﹣t）﹣4，

∴t=，或t=0（与A重合，舍去），

∴D（﹣，﹣）．

 

方法二：

（1）略．

（2）∵点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动．过点Q作x轴垂线，垂足为H．

∵A（3，0），C（0，4），

∴l_AC：y=x﹣4，

∵点P运动到B点时，点Q停止运动，

∴AP=AQ=4，

∴QH=，Q_y=﹣，

代入L_AC：y=x﹣4得，Q_x=，则Q（，﹣），

∵点E在x轴上，

∴设E（a，0），

∵A（3，0），Q（，﹣），△AEQ为等腰三角形，

∴AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，

∴（a﹣3）2=（a﹣）2+（0+）2，∴a=﹣，

（a﹣3）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=7，a2=﹣1，

（a﹣）2+（0+）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=﹣，a2=3（舍）

∴点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

 

（3）∵P，Q运动到t秒，

∴设P（3﹣t，0），Q（3﹣t，﹣ t），

∴K_PQ=，K_PQ=﹣2，

∵AD⊥PQ，

∴K_PQ•K_AD=﹣1，

∴K_AD=，

∵A（3，0），

∴l_AD：y=x﹣，

∵y=，

∴x1=3（舍），x2=﹣，

∴D（﹣，﹣），

∵D_Y=Q_Y，即﹣t=﹣，t=，DQ∥AP，DQ=AQ=AP，此时四边形APDQ的形状为菱形．

【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．