Question

13．如图在矩形ABCD中，AB=nAD，点E、F分别在AB、AD上且不与顶点A、B、D重合，∠AEF=∠BCE，圆O过A、E、F三点．
（1）求证：圆O与CE相切于点E．
（2）如图1，若AF=2FD，且∠AEF=30°，求n的值．
（3）如图2，若EF=EC，且圆O与边CD相切，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠BEC+∠BCE=90°，等量代换得到∠AEF+∠BEC=90°，求得∠FEC=90°，于是得到结论；
（2）设DF=x，则AF=2x，得到BC=AD=3x，解直角三角形得到AE=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$x，根据相似三角形的性质得到BE=$\sqrt{3}$x，求得AB=AE+BE=3$\sqrt{3}$x，根据已知条件列方程即可得到结论；
（3）如图2，设CD与⊙O相切于G，连接GO并延长交AE于H，连接OC．根据切线的性质得到HG⊥CD，推出四边形AHGD是矩形，根据矩形的性质得到GH=AD=BC，AH=HE=DG，设OG=OF=OE=R，OH=x，求得AD=GH=BC=R+x，AF=2x，根据全等三角形的性质得到BE=AF=2x，CE=EF=2R，AE=BC=R+x，求得AB=R+3x，根据切线的性质得到CG=CE=BH=2R，得到AB=AH+BH=$\frac{5R+x}{2}$，然后列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，
∵∠AEF=∠BCE，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠FEC=90°，
∴FE⊥CE，
∴圆O与CE相切于点E；

（2）∵AF=2FD，
∴设DF=x，则AF=2x，
∴BC=AD=3x，
∵∠AEF=30°，∠A=90°，
∴AE=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$x，
∵∠A=∠B=90°，∠AEF=∠BCE，
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，即$\frac{2x}{BE}=\frac{2\sqrt{3}x}{3x}$，
∴BE=$\sqrt{3}$x，
∴AB=AE+BE=3$\sqrt{3}$x，
∵AB=nAD，
∴3$\sqrt{3}$x=n•3x，
∴n=$\sqrt{3}$；

（3）如图2，设CD与⊙O相切于G，连接GO并延长交AE于H，
连接OC．
∵CD与⊙O相切于G，
∴HG⊥CD，
∵CD∥AB，
∴GH⊥AB，
∴四边形AHGD是矩形，
∴GH=AD=BC，AH=HE=DG，
设OG=OF=OE=R，OH=x，
∴AD=GH=BC=R+x，AF=2x，
在△AEF与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=90°}\\{∠AEF=∠BCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCE，
∴BE=AF=2x，CE=EF=2R，AE=BC=R+x，
∴AB=R+3x，
∵CG和CE是⊙O的切线，
∴CG=CE=BH=2R，
∵AH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{R+x}{2}$，
∴AB=AH+BH=$\frac{5R+x}{2}$，
∴R+3x=$\frac{5R+x}{2}$，
∴R=$\frac{5}{3}$x，
∴AD=$\frac{8}{3}$x，AB=$\frac{14x}{3}$，
∵AB=nAD，
∴$\frac{14}{3}$x=n•$\frac{8}{3}$x，
∴n=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．