定义:有一组对角互补的凸四边形叫做“对补四边形 .性质:“对补四边形一定是圆内接四边形．(1)概念理解:请你根据上述描述定义举一个“对补四边形的例子,(2)问题探究:如图1.在对补四边形ABCD中.如果∠A=∠C.试探究AB.AD.BC.CD之间的数量关系.并说明理由,(3)应用拓展:如图2.在四边形ABCD中.AB≠BC.∠A=∠C=90°.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．定义：有一组对角互补的凸四边形叫做“对补四边形”，性质：“对补四边形”一定是圆内接四边形．
（1）概念理解：请你根据上述描述定义举一个“对补四边形”的例子；
（2）问题探究：如图1，在对补四边形ABCD中，如果∠A=∠C，试探究AB、AD、BC、CD之间的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展：如图2，在四边形ABCD中，AB≠BC，∠A=∠C=90°，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BFD．
①连接AF，四边形ABDF是对补四边形吗？请说明理由；
②若AB=1，BD=2，且BF把△ABD分成两个三角形的面积比为1：2，请求出CD的长．

分析（1）由矩形的性质容易得出矩形是“对补四边形”
（2）连接BD，由“对补四边形”的定义得出∠A=+∠C=90°，由已知得出∠A=∠C=90°，由勾股定理得出AB²+AD²=BD²，BC²+CD²=BD²，即可得出结论；
（3）①证明A、B、C、D四点共圆，由折叠的性质得：∠BFD=∠BAD=90°，证出点F在A、B、C、D四点共圆的这个圆上，由圆内接四边形的性质得出∠BAF+∠BDF=180°，即可得出结论；
②由三角函数得出sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{1}{2}$，由勾股定理求出AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，得出∠ADB=30°，由直角三角形的性质得出∠ABD=60°，设AD与BF交于点P，作PM⊥BD于M，由已知得出AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，分别求出DF的长，即可得出CD的长．

解答解：（1）矩形是“对补四边形”；
（2）AB²+AD²=BC²+CD²；理由如下：
连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠A=+∠C=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠C=90°，
∴AB²+AD²=BD²，BC²+CD²=BD²，
∴AB²+AD²=BC²+CD²；
（3）①四边形ABDF是对补四边形，理由如下：
∵∠BAD=∠C=90°，
∴∠BAD+∠C=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
由折叠的性质得：∠BFD=∠BAD=90°，
∴点F在A、B、C、D四点共圆的这个圆上，
∴∠BAF+∠BDF=180°，
∴四边形ABDF是对补四边形；
②∵AB=1，BD=2，∠BAD=90°，
∴sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{1}{2}$，AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABD=60°，
设AD与BF交于点P，作PM⊥BD于M，如图2所示：
∵BF把△ABD分成两个三角形的面积比为1：2，
∴AP：PD=1：2，或PD：AP=1：2，
，当AP：PD=1：2时，AP=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PD=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADB=30°，
∴PM=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=PA，
∴∠ABP=∠DBP=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，
∵∠BFD=90°，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴CD=DF=1；
当PD：AP=1：2时，PD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AP=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵∠BAD=∠BFD=90°，∠APB=∠FPD，
∴△ABP∽△FDP，
∴$\frac{AB}{FD}=\frac{BP}{PD}$，即$\frac{1}{FD}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，
解得：FD=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴CD=FD=$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
综上所述：CD的长为1或$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
．

点评本题是四边形综合题目，考查了新定义“对补四边形”、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．

练习册系列答案

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14．

某批足球的质量检测结果如下：

抽取足球数n	100	200	400	600	800	1000
合格的频数m	93	192	384	564	759	950
合格的频率$\frac{m}{n}$	0.93	0.96	0.96	0.94	0.95	0.95

（1）填写表中的空格．（结果保留0.01）
（2）画出合格的频率的折线统计图．
（3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．

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12．下列说法中，正确的是（　　）

	A．	两点之间的连线中，直线最短
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	C．	若P是线段AB的中点，则AP=BP
	D．	两点之间的线段叫做这两点之间的距离

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