Question

1．若x₁、x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，我们把它们称为根与系数的关系定理，请你参考上述定理，解答下列问题：
设二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0）．抛物线的顶点为C，且△ABC为等腰三角形．
（1）求A、B两点之间的距离（用字母a、b、c表示）
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，求b²-4ac的值；
（3）设抛物线y=x²+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？

Answer 1

分析 （1）令二次函数解析式中y=0，根据根与系数的关系可得出“x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$”，利用配方法即可求出|x₂-x₁|的值，由此即可得出结论；
（2）利用配方法将二次函数解析式转化成顶点式，由此即可求出点C的坐标，再根据等腰直角三角形的性质可得出2×|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$，利用换元解方程即可求出b²-4ac的值；
（3）由（2）的结论即可得出关于k的方程，解方程即可得出抛物线的解析式，画出函数图象，由此可得出若要使∠ACB=60°，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为n（n＞0），则平移后的抛物线的解析式为y=x²-2$\sqrt{2}$x+1-n，结合（1）（2）的结论即可得出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）令y=ax²+bx+c（a≠0）中y=0，则有ax²+bx+c=0，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$．
（2）∵二次函数y=ax²+bx+c=a$（x+\frac{b}{2a}）^{2}$+$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴2×|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$，
令$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=m，则有m²-2m=0，
解得：m=2，或m=0，
∵二次函数与x轴有两个不相同的交点，
∴m=$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=2，
∴b²-4ac=4．
（3）∵∠ACB=90°，
∴b²-4ac=k²-4=4，
解得：k=±2$\sqrt{2}$．
选k=-2$\sqrt{2}$，画出图形，如图所示．

若要使∠ACB=60°，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为n（n＞0），则平移后的抛物线的解析式为y=x²-2$\sqrt{2}$x+1-n，
由（1）可知AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$=2$\sqrt{1+n}$，
由（2）可知点C（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），即（$\sqrt{2}$，-1-n），
∵△ABC为等腰三角形，且∠ACB=60°，
∴-y_C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，即1+n=$\sqrt{3}$$\sqrt{1+n}$，
解得：n=-1（舍去），或n=2．
故将抛物线往下平移2个单位长度，能使∠ACB=60°．

点评 本题考查了根与系数的关系、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用配方法求出|x₂-x₁|的值；（2）利用换元法解方程；（3）根据等边三角形的性质找出关于n的方程．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，利用等腰直角（等边）三角形的性质得出边与边的关系是关键．