Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于点F，交⊙O于点D，E是△ABC内心，连BE．
（1）求证：ED=DC；
（2）若∠BAC=60°，AB=11，AC=7，求AD的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：（1）如图1，由AD平分∠BAC交⊙O于D得∠1=∠2，根据圆周角定理得

BD

=

CD

，则BD=CD，再利用E是△ABC内心得∠3=∠4，然后证明∠BED=∠DBE，根据等腰三角形的判定得到BD=ED，即ED=DC；
（2）作CQ⊥AB于Q，连结OB，连结OD交BC于H，如图2，在Rt△ACQ中根据含30度的直角三角形三边的关系得AQ=

7

2

，CQ=

7 3

2

，则BQ=AB-AQ=

15

2

；在Rt△BCQ中，根据勾股定理计算出BC=2

93

，根据垂径定理的推论，由

BD

=

CD

得OD⊥BC，BH=CH=

1

2

BC=

93

，再证明△OBD为等边三角形，计算出OH=

31

，OB=2

31

，BD=2

31

，DH=

31

；接着根据角平分线定理得到

BF

CF

=

AB

AC

，可计算出BF=

11 3

9

，则HF=BF-BH=

2 93

9

，然后在Rt△DHF中，利用勾股定理计算出DF=

31 3

9

，最后证明△DBF∽△DAB，利用相似比计算出AD．

解答：（1）证明：如图1，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠1=∠2，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∵E是△ABC内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠3=∠4，
∵∠BED=∠1+∠3，
∵∠1=∠5，
∴∠DBE=∠4+∠5，
即∠BED=∠DBE，
∴BD=ED，
∴ED=DC；
（2）解：作CQ⊥AB于Q，连结OB，连结OD交BC于H，如图2，
在Rt△ACQ中，∵∠CAQ=60°，AC=7，
∴AQ=

7

2

，CQ=

7 3

2

，
∴BQ=AB-AQ=

15

2

，
在Rt△BCQ中，BC=

CQ2+BQ2

=2

93

，
∵

BD

=

CD

，
∴OD⊥BC，
∴BH=CH=

1

2

BC=

93

，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD为等边三角形，
在Rt△OBH中，OH=

3

3

BH=

31

，
∴OB=2OH=2

31

，
∴BD=2

31

，DH=

31

，
∵AD平分∠BAC，
∴

BF

CF

=

AB

AC

=

11

7

，即

BF

BF+CF

=

11

11+7

，
∴BF=

11

18

BC=

11

18

•2

93

=

11 3

9

，
∴HF=BF-BH=

2 93

9

，
在Rt△DHF中，DF=

HF2+DH2

=

31 3

9

，
∵∠DBF=∠DAB，∠FDB=∠BDA，
∴△DBF∽△DAB，
∴DF：BD=BD：AD，即

31 3

9

：2

31

=2

31

：AD，
∴AD=12

3

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．