Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，H是AD中点，AB=BC=CD=

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AD，E在AB延长线上，且BE=FH，联结EH并延长AF于点G，求证：AE²=EH•EG．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰梯形的性质

专题：证明题

分析：首先证明四边形CBHD是平行四边形，则可以证得△ABH是等边三角形，然后证明△EBH≌△FHA，从而证明∠EGA=∠EAH，则△EAH∽△EGA，根据相似三角形的对应边的比相等证得．

解答：证明：∵AB=BC=CD=

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AD，HD=HA，
∴BC∥DH，BC=DH，
∴四边形CBHD是平行四边形，
∴BH=DC=AB=AH，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠ABH=∠AHB=∠BHA=60°，
∴∠EBH=∠FHA．
则在△EBH和△FHA中，

BE=FH ∠EBH=∠FHA BH=AH

，
∴△EBH≌△FHA（SAS），
∴∠FAH=∠EHB，
∵∠EHA=∠HGA+∠HAF，
∴∠EGA=60°=∠EAH，∠E=∠E，
∴△EAH∽△EGA，
∴

EA

EG

=

EH

EA

，
∴AE²=EH•EG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，证明等积式的问题，常用的方法是证明三角形相似．