Question

14．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4$\sqrt{3}$，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．

解答 解：如图所示：
，
由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4$\sqrt{3}$，得
AD=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．
由直角三角的性质，得∠BHD=90°-∠HBD=60°．
由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°
由BG=2，得EG=BE-BG=6-2=4．
由GE为边作等边三角形GEF，得
FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，
△MHE是等边三角形；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AC×EH×3
EH=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{3}$×6=2．
由三角形外角的性质，得∠BIG=∠FGE-∠IBG=60°-30°=30°，
由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，
由线段的和差，得IF=FG-IG=4-2=2，
由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，
由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，
由锐角三角函数，得FN=1，IN=$\sqrt{3}$．
S_{五边形NIGHM}=S_△EFG-S_△EMH-S_△FIN
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．