Question

4．已知，如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE、CD相交于点F．
（1）若∠ACB=∠CDB=90°，求证：∠CFE=∠CEF；
（2）若∠ACB=∠CDB=m（0°＜m＜180°）．
①求∠CEF-∠CFE的值（用含m的代数式表示）；
②是否存在m，使∠CEF小于∠CFE，如果存在，求出m的范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据∠ACB=∠CDB=90°得出∠B=90°-∠DCB，∠ACD=90°-∠DCB，再由AE平分∠CAB即可得出结论；
（2）①根据三角形外角的性质可得出∠CFE=∠ACD+$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CEF=∠B+$\frac{1}{2}$∠CAB，故∠CFE-∠CEF=∠B-∠ACD，再由∠B=180°-m-∠DCB，∠ACD=m-∠DCB即可得出结论；
②根据∠CEF小于∠CFE可知∠CEF-∠CFE＜0，故180°-2m＜0，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠B=90°-∠DCB，∠ACD=90°-∠DCB，
∴∠B=∠ACD．
∵AE平分∠CAB，
∴∠CFE=∠ACD+$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CEF=∠B+$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CFE=∠CEF；

（2）①∵∠CFE=∠ACD+$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CEF=∠B+$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CFE-∠CEF=∠B-∠ACD．
∵∠B=180°-m-∠DCB，∠ACD=m-∠DCB，
∴∠CEF-∠CFE=（180°-m-∠DCB）-（m-∠DCB）=180°-2m；
②存在．
∵要使∠CEF小于∠CFE，则∠CEF-∠CFE＜0，
∴180°-2m＜0，解得m＞90°，
∴当90°＜m＜180°时，∠CEF的值小于∠CFE．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．