题目内容
14．在数学的世界里，有很多结论的形式是统一的，这也体现了数学的美．请你证明下列两组条件中，均有等式$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$成立．（1）如图1，∠APC=120°，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x1，PC=x2，PB=x3．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，过点A（x1，0）、B（0，x2）作直线l，与直线y=x交于点C，点C横坐标为x3．
分析 （1）如图1中，过点B作BE∥PA交PC于点E，由BE∥PA，推出△BEC∽△APC，得到$\frac{BE}{AP}$=$\frac{EC}{PC}$，即$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}}$，即x2x3+x1x3=x1x2，两边除以x1x2x3即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．由S△BOC+S△AOC=S△AOB，列出式子，即可解决问题．
解答 （1）证明：如图1中，过点B作BE∥PA交PC于点E，
∵BE∥PA，
∴△BEC∽△APC，
∵∠APC=120°，PB平分∠APC，可得△PBE是等边三角形．
∴BE=PE=PB=x3，
∴EC=x2-x3，
∵$\frac{BE}{AP}$=$\frac{EC}{PC}$，
∴$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}}$，
∴x2x3+x1x3=x1x2，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$．
②解：如图2中，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．
∵点C在直线y=x上，且横坐标为x3，∴点C（x3，x3），
∴CE=CD=x3，
∵S△BOC+S△AOC=S△AOB，
∴$\frac{1}{2}$x2x3+$\frac{1}{2}$x1x3=$\frac{1}{2}$x1x2，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$．
点评 本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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已知，如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE、CD相交于点F．| 自来水销售价格 | 污水处理价格 | |
| 每户每月用水量 | 单价：元/吨 | 单价：元/吨 |
| 17吨及以下 | a | 0.80 |
| 超过17吨但不超过30吨的部分 | b | 0.80 |
| 超过30吨的部分 | 6.00 | 0.80 |
已知小王家2015年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值．
（2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王计划把7月份水费控制在不超过家庭月收入的2%，若小王家的月收入为9600元，则小王家7月份最多能用水多少吨？（结果精确到1吨）
已知：如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．
写出如图所示的平面直角坐标系中A，B，C，D点的坐标，并分别指出它们所在的象限．