Question

2．如图，MN是⊙0的直径，MN=2，点A在⊙0上，$\widehat{AON}$=60°，点B为$\widehat{AON}$的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作点B关于MN的对称点B′，交MN于点P，连接OB′．先求得∠AOB′=90°，由轴对称的性质可知PB=PB′，故此PA+PB=PA+PB′，当点A、P、B′在一条直线时，PA+PB有最小值，然后在Rt△AB′O中，利用勾股定理可求得AB′的长．

解答 解：作点B关于MN的对称点B′，交MN于点P，连接OB′．

∵$\widehat{AON}$=60°，点B为$\widehat{AON}$的中点，
∴劣弧NB=30°．
∵点B′与点B关于MN对称，
∴劣弧NB′=30°，PB=PB′．
∴∠AOB′=90°，PA+PB=PA+PB′=AB．
∵MN是圆O的直径，
∴OA=OB′=$\frac{1}{2}MN$=1．
在Rt△AOB′中，AB′=$\sqrt{O{A}^{2}+OB{′}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是圆的性质、勾股定理的应用、轴对称的性质，明确当点A、P、B′在一条直线时，PA+PB有最小值是解题的关键．