Question

8．如图，已知直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是13．

Answer 1

分析 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．

解答 解：∵直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，-3），3x-4y-12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×OA×OC+$\frac{1}{2}$×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，
∴CM=$\frac{16}{5}$，
∴圆C上点到直线y=$\frac{3}{4}$x-3的最大距离是：2+$\frac{16}{5}$=$\frac{26}{5}$，
∴△PAB面积的最大值是$\frac{1}{2}$×5×$\frac{26}{5}$=13，
故答案为：13．

点评 本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离．