在△ABC中.∠A=70°．(1)如图①∠ABC.∠ACB 的平分线相交于点O.则∠BOC=55°,(2)如图②△ABC的外角∠CBD.∠BCE 的平分线相交于点O'.则∠BO'C=55°,(3)探究探究一:如图③.△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD 的平分线相交于点O.设∠A=n°.求∠BOC的度数．探究二:已知:四边形ABCD的内角∠ABC的平分线所在直线与其外角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在△ABC中，∠A=70°．

（1）如图①∠ABC，∠ACB 的平分线相交于点O，则∠BOC=55°；
（2）如图②△ABC的外角∠CBD，∠BCE 的平分线相交于点O'，则∠BO'C=55°；
（3）探究
探究一：如图③，△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD 的平分线相交于点O，设∠A=n°，求∠BOC的度数．（用n的代数式表示）
探究二：已知：四边形ABCD的内角∠ABC的平分线所在直线与其外角∠DCE的平分线所在直线
相交于点O，∠A=n°，∠D=m°
①如图④，若∠A+∠D≥180°，则∠BOC=$\frac{1}{2}$（n°+m°）-90°（用m、n的代数式表示）
②如图⑤，若∠A+∠D＜180°，则∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$（n°+m°）（用m、n的代数式表示）

分析（1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）探究
探究一：根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC的度数．
探究二：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOC+∠OBC=∠OCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可．

解答解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×110°=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；

（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A=55°；

（3）探究
探究一：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$n°；
探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠OCE=∠O+∠OBC，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠BOC+∠OBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D+∠ABC-180°）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）+$\frac{1}{2}$∠ABC-90°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=n°，∠D=m°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$（n°+m°）-90°；
②同①可求，∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$（n°+m°）．
故答案为：55；55；$\frac{1}{2}$（n°+m°）-90°；90°-$\frac{1}{2}$（n°+m°）．