Question

12．若4n+1、6n+1都是完全平方数，则正整数n的最小值是20．

Answer 1

分析 根据4n+1、6n+1的特点设6n+1=（2m+1）²=4m（m+1）+1，得出4n+1=16k+1，6n+1=24k+1，进而利用当k=1，2，3，4…时，求出符合题意的答案．

解答 解：∵4n+1，6n+1都是奇平方数，
设6n+1=（2m+1）²=4m（m+1）+1，
则6n=4m（m+1），
而m（m+1）为偶数，
∴4|n，
设n=4k，则4n+1=16k+1，6n+1=24k+1，
当k=1，2，3，4时，4n+1，6n+1不同为平方数，
而当k=5，即n=20时，4n+1=81，6n+1=121皆为平方数，因此正整数n的最小值是20．
故答案为：20．

点评 此题主要考查了完全平方数，正确得出4n+1=16k+1，6n+1=24k+1进而得出是解题关键．