Question

1．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5h与乙相遇，…请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S_甲、S_乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求函数解析式，即可解答；
（2）先求出甲、乙的速度、所以OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，根据当20＜y＜30时，得到20＜40t-60＜30，或20＜-20t+80＜30，解不等式组即可；
（3）得到S_甲=60t-60（1≤t≤$\frac{7}{3}$），S_乙=20t（0≤t≤4），画出函数图象即可．

解答 解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，
把（1.5，0），（7 3，100 3 ）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1.5k+b=0}\\{\frac{7}{3}k+b=\frac{100}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=40}\\{b=-60}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=40t-60；
设直线CD的函数解析式为y₁=k₁t+b₁，
把（$\frac{7}{3}$，$\frac{100}{3}$），（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{3}{k}_{1}+{b}_{1}=\frac{100}{3}}\\{4{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-20}\\{{b}_{1}=80}\end{array}\right.$，
∴直线CD的函数解析式为：y=-20t+80．
（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；
 $\left\{\begin{array}{l}{0.5a=1.5b}\\{a（\frac{7}{3}-1）=\frac{7}{3}b+\frac{100}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=60}\\{b=20}\end{array}\right.$，
∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，
∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，
当20＜y＜30时，
即20＜40t-60＜30，或20＜-20t+80＜30，
解得：2＜t＜$\frac{9}{4}$或$\frac{5}{2}$＜t＜3．
（3）根据题意得：s_甲=60t-60（1≤t≤$\frac{7}{3}$）
s_乙=20t（0≤t≤4），
所画图象如图2所示：
．

点评 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．