Question

6．如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右边作正方形ADEF．
（1）线段CF、BD之间的位置关系是CF⊥BD，数量关系是CF=BD；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°．由∠BAC=90°，于是得到∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC．推出△ABD≌△ACF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）方法同（1）．

解答 解：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC．
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，∠ABD=∠ACF，
∵∠ABD+∠ACF=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD，
故答案为：CF⊥BD，CF=BD；

（2）结论仍然成立．理由如下：
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，∠ABD=∠ACF，
∵∠ABD+∠ACF=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质及正方形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．