Question

某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价x（元/件）可近似看做-次函数y=kx+b的关系，如图所示．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元，①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b，解方程组求得k和b的值，即可得到一次函数y=kx+b的表达式．
（2）由题意可得 S=y•x-500y，化简可得S=-x²+1500x-500000，利用二次函数性质求出函数的最大值以及函数取最大值时x的值．

解答：解：（1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b可得 300=700k+b，且400=600k+b，
解得 k=-1，b=1000，故一次函数y=kx+b的表达式为 y=-x+1000．

（2）①∵公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S，则 S=y•x-500y=（-x+1000 ）x-500（-x+1000）=-x²+1500x-500000．
②故函数S的对称轴为x=750，满足 500≤x≤800，故当x=750时，函数S取得最大值为62500元，
y=-750+1000=250，
即当销售单价定为750元/价时，该公司可获得最大的毛利润为62500元，销量为250件．

点评：本题主要考查用待定系数法求直线方程，二次函数性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．