Question

已知关于x的二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，当-3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜-3或x＞2时，函数值y＞0．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直线y=-5上是否存在点P，使得∠APB=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据当-3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜-3或x＞2时，函数值y＞0，得出函数图象与x轴交点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据题意画出图象，利用勾股定理得出BD，BC的长，进而得出∠ACB的度数，再利用等腰直角三角形的性质得出符合题意的P点坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²+mx+n，当-3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜-3或x＞2时，函数值y＞0，
∴二次函数y=x²+mx+n过点A（-3，0），B（2，0），
把A，B点代入二次函数解析式得：

9-3m+n=0 4+2m+n=0

，
解得：

m=1 n=-6

，
∴二次函数的解析式为：y=x²+x-6；

（2）如图所示：过点B作BD⊥AC于点D，
当x=0，则y=-6，
∴CO=6，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴AO=3，BO=2，AB=5，
∴AC=

32+62

=3

5

，BC=2

10

，
∴DB×AC=AB×CO，
∴BD=

AB×CO

AC

=

5×6

3 5

=2

5

，
∴sin∠DCB=

DB

BC

=

2 5

2 10

=

2

2

，
∴∠DCB=45°，
当∠APB=∠ACB，即∠APB=∠ACB=45°，
∵AB=5，点P在直线y=-5上，
∴当PA⊥AB垂足为A时，PA=AB，∠BAP=90°，
∴∠APB=∠ABP=45°，此时P点坐标为：（-3，-5），
当∠AP′B=∠ACB，即∠AP′B=∠ACB=45°，
∵AB=5，点P′在直线y=-5上，
∴当P′B⊥AB垂足为B时，P′A=AB，∠P′BA=90°，
∴∠AP′B=∠BAP′=45°，此时P′点坐标为：（2，-5），
综上所述：在直线y=-5上是否存在点P，使得∠APB=∠ACB，点P的坐标分别为：（-3，-5），（2，-5）．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系、等腰直角三角形的性质等知识，利用点的坐标得出∠ACB的度数是解题关键．