Question

10．如图1，若抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B在抛物线L₁上（点A与点B不重合），我们把这样的两抛物线L₁、L₂互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．
（1）在图1中，抛物线：L₁：y=-x²+4x-3与L₂：y=a（x-4）²-3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为（2，1），a的值为1；
（2）在图2中，已知抛物线L₃：y=2x²-8x+4，它的“伴随抛物线”为L₄，若L₃与y轴交于点C，点C关于L₃的对称轴对称的对称点为D，请求出以点D为顶点的L₄的解析式；
（3）若抛物y=a₁（x-m）²+n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=a₂（x-h）²+k，请写出a₁与a₂的关系式，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“伴随抛物线”的定义，可得答案；
（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L₃的“伴随抛物线”L₄的解析式，可求出L₄的解析式；
（3）根据：抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B也在抛物线L₁上，可以列出两个方程，相加可得：（a₁+a₂ ）（m-h）²=0，可得a₁=-a₂．

解答 解：（1）∵抛物线：L₁：y=-x²+4x-3，
∴此抛物线的顶点坐标A（2，1），
∵抛物线过点A（2，1），
∴1=a（2-4）²-3，
∴a=1，
故答案为（2，1），1；
（2）由L₃：y=2x²-8x+4化成顶点式，得
y=2（x-2）²-4，
∴C（0，4），对称轴为x=2，顶点坐标（2，-4）．
∴点C关于对称轴x=2的对称点D（4，4）
设L₄：y=a（x-h）²+k
将顶点D（4，4）代入得，y=a（x-4）²+4
再将点（2，-4）代入得，-4=4a+4
解得：a=-2
L₃的伴随抛物线L₄的解析式为：y=-2（x-4）²+4；
（3）a₁=-a₂，
理由如下：
∵抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B也在抛物线L₁上，
∴可以列出两个方程$\left\{\begin{array}{l}{n={a}_{2}（m-h）^{2}+k}\\{k={a}_{1}（h-m）^{2}+n}\end{array}\right.$，
①+②得：
（a₁+a₂ ）（m-h）²=0，
∵伴随抛物线的顶点不重合，
∴a₁=-a₂

点评 本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．