Question

1．如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先求出△AFG的面积，然后找出S_△CEG=9S_△AFG=3，再求出S_△AFD=2S_△AFC=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，S_△DEB=S_△AFD=$\frac{2}{3}$，最后用面积差即可．

解答 解：AF∥BC，CG=3，GA=1，
∴$\frac{EG}{FG}=\frac{GA}{CG}=\frac{3}{1}$，
∴FG=$\frac{1}{4}$EF，
∵AF∥BC，
∴$\frac{ED}{FD}=\frac{DB}{AD}$，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴ED=FD，
∴FD=$\frac{1}{2}$EF，
∵$\frac{EG}{FG}$=$\frac{3}{1}$，
∴S_△AFG=$\frac{1}{3}$S_△AEG=$\frac{1}{3}$，
∵AF∥BC，
∴△CEG∽△AFG，
∴$\frac{{S}_{△CEG}}{{S}_{△AFG}}=（\frac{CG}{AG}）^{2}=9$，
∴S_△CEG=9S_△AFG=3，
∵FG=$\frac{1}{4}$EF，FD=$\frac{1}{2}$EF，
∴FD=2FG，
∴DG=FG，
∴S_△AFD=2S_△AFC=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∵△BED≌△AFD，
∴S_△DEB=S_△AFD=$\frac{2}{3}$，
∴S四边形BDGC的面积=S△_CGE-S_△BED
=3-$\frac{2}{3}$
=$\frac{7}{3}$．

点评 此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出△AFG的面积．