Question

18．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，且∠APB：∠BPC：∠CPA=3：4：5，求以PA，PB，PC为边的三角形的三个内角的度数．

Answer 1

分析 将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，根据已知条件得到∠APB=90°，∠BPC=120°，∠CPA=150°，然后根据角的和差即可得到结论．

解答 解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等边三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=3：4：5，
∴∠APB=90°，∠BPC=120°，∠CPA=150°，
∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=90°-60°=30°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=150°-60°=90°，
∠PCP′=180°-（30°+90°）=60°，
∴以PA，PB，PC为边的三角形的三个内角的度数为：30°，60°，90°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．