Question

6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F．
（1）当点P恰好为BC的中点时，折痕EF的长度为$\frac{125}{24}$；
（2）设BP=x，要使折痕始终与边AB，AD有交点，x的取值范围是6-$2\sqrt{5}$≤x≤4．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABP中，由勾股定理可知AP=5，由折叠的性质可知：AG⊥EF，AG=GP=2.5，设EP=x，则BE=4-x，
在Rt△EBP中，由勾股定理解得：x=$\frac{25}{8}$，在Rt△EGP中，EG=$\sqrt{E{P}^{2}-G{P}^{2}}$=$\frac{15}{8}$，然后再证明△PEG∽△FPE，故此$\frac{EG}{EP}=\frac{EP}{EF}$，从而可求得EF=$\frac{125}{24}$；
（2）如图①所示：首先证明△ABP∽△FAE，可求得AE=$\frac{3}{2}x$，然后在Rt△BEP中，由勾股定理求得：${x}_{1}=6-2\sqrt{5}$，${x}_{2}=6+2\sqrt{5}$；如图②，由折叠的性质可知：BP=AB=4，从而可得到6-$2\sqrt{5}$≤x≤4．

解答 解：（1）如图连接EP、PF．

∵点P是BC的中点，
∴PB=3．
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
由折叠的性质可知：AG⊥EF，AG=GP=2.5，∠EAF=∠EPF=90°．
设EP=x，则BE=4-x，
在Rt△EBP中，EP²=EB²+BP²，即：x²=3²+（4-x）²，解得：x=$\frac{25}{8}$，
在Rt△EGP中，EG=$\sqrt{E{P}^{2}-G{P}^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
∵∠GEP=∠FEP，∠PEG=∠EPF，
∴△PEG∽△FPE．
∴$\frac{EG}{EP}=\frac{EP}{EF}$，即$\frac{\frac{15}{8}}{\frac{25}{8}}=\frac{\frac{25}{8}}{EF}$，
∴EF=$\frac{125}{24}$
（2）如图①所示：

∵∠AEF=∠AEG，∠AGE=∠EAF=90°，
∴∠EAG=∠EFA．
又∵∠ABC=∠DAE．
∴△ABP∽△FAE．
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{BP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{AE}{x}$．
∴AE=$\frac{3}{2}x$．
在Rt△BEP中，EP²=BE²+PB²，即：$（4-\frac{3}{2}x）^{2}+{x}^{2}=（\frac{3}{2}x）^{2}$
解得：${x}_{1}=6-2\sqrt{5}$，${x}_{2}=6+2\sqrt{5}$（舍去）．
如图②，由折叠的性质可知：BP=AB=4．
∴6-$2\sqrt{5}$≤x≤4．
故答案为：（1）$\frac{125}{24}$；（2）6-$2\sqrt{5}$≤x≤4．

点评 本题主要考查得是相似三角形、勾股定理和翻折变换的综合应用，根据题意画出图形是解题的关键．