Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E．
（1）说明：

CE

AE

=

2

3

；
（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标；
（3）当△CDE的面积为

8

5

时，求tan∠CAB的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于A、B两点，即可求得点A与B的坐标，然后过点O作OG∥AC交BE于点G，可得△CED∽△OGD，△BOG∽△BAE，然后由相似三角形的对应边成比例，得到CE=OG，继而证得

CE

AE

=

2

3

；
（2）由点C、点A到y轴距离相等，可得点C的横坐标为2，然后代入y=-x²+2x+8，即可求得点E坐标；
（3）首先连接OE，过点C作CF⊥AB于点F，由

CE

AE

=

2

3

，易得

S△CED

S△AOC

=

1

5

．则可求得CF的长，继而求得点C的坐标，则可求得tan∠CAB的值．

解答：（1）证明：∵抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于A、B两点，
当y=0时，-x²+2x+8=0，
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴点A（-2，0），B（4，0），
∴OB=4，AB=6，
过点O作OG∥AC交BE于点G．
∴△CED∽△OGD，
∴

DC

DO

=

CE

OG

；
∵点D是OC的中点，即DC=DO，
∴CE=OG；
∵OG∥AC，
∴△BOG∽△BAE，
∴

OG

AE

=

OB

AB

．
∴

CE

AE

=

OG

AE

=

OB

AB

=

4

6

=

2

3

．

（2）解：∵点C、点A到y轴距离相等，
∴点C的横坐标为2，
∴y=-2²+2×2+8=8，
∴点C的坐标为：（2，8），A（-2，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-2k+b=0 2k+b=8

，解得

k=2 b=4

，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
∵点D是线段OC的中点，
∴D（1，4），
∵B（4，0），
∴设直线BD的解析式为y=ax+c（a≠0），
∴

a+c=4 4a+c=0

，解得

a=- 4 3 c= 16 3

，
∴直线BD的解析式为y=-

4

3

x+

16

3

，
∵

y=2x+4 y=- 4 3 x+ 16 3

，解得

x= 2 5 y= 24 5

，
∴E（

2

5

，

24

5

）；


（3）解：连接OE，过点C作CF⊥AB于点F．
∵D是OC的中点，
∴S_△OCE=2S_△CED，
∵

CE

AE

=

2

3

，
∴

CE

CA

=

2

5

，
∵

S△OCE

S△AOC

=

CE

CA

=

2

5

，
∴

S△CED

S△AOC

=

1

5

．
∴S_△AOC=5S_△CED=5×

8

5

=8，
∵S_△AOC=

1

2

OA•CF=

1

2

×2×CF=CF，
∴CF=8，
∴当y=8时，8=-x²+2x+8，
解得：x₁=0，x₂=2，
∴点C的坐标为：（2，8），
∴AF=4，
∴tan∠CAB=

CF

AF

=

8

4

=2．

点评：此题考查了二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．