Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转180⁰，得到矩形OEFG，顺次连接AC、CE、EG、GA．

（1）请直接写出点F的坐标；
（2）试判断四边形ACEG的形状，并说明理由；
（3）将矩形OABC沿y轴向下平移m个单位（0＜m＜4），设平移过程中矩形与△AEC重叠部分面积为S₁，当S₁：S_△AEC=11：16时，求m的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据A、B的坐标和矩形的性质，旋转的性质即可得出OC=OG=AB=2，BC=FG=4，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得出OA=OE，OC=OG，得出平行四边形，根据AE⊥CG即可得出答案；
（3）求出S_△AA′M+S_△EO′N=

5

16

S_△ACE，求出后代入得出关于m的方程，求出即可．

解答：解：（1）∵A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转180⁰，得到矩形OEFG，
∴BC=FG=4，OC=AB=OG=2，
∴F（-2，-4）；

（2）四边形ACEG是菱形，
理由：根据题意得：OA=OE，OC=OG，
∴四边形ACEG是平行四边形，
又∵AE⊥GC
∴四边形ACEG是菱形；

（3）如图，将矩形OABC沿y轴向下平移m个单位得到矩形O′A′B′C′，
则当S₁：S_△AEC=11：16时，重叠部分为五边形MCNO′A′，
∵S₁：S_△AEC=11：16，
∴S△AAM′+S△EON′=

5

16

S△AEC=

5

16

×8=

5

2

，
∵A′B′∥GC，
∴△AA′M∽△AOC，
∴

AA′

A′M

=

AO

OC

=2，
∴A′M=

1

2

AA′=

1

2

m，
∴S△AAM′=

1

2

×

1

2

m×m=

1

4

m2，
同理可得：S△EO′N=

1

4

(4-m)2，
∴

1

4

m2+

1

4

(4-m)2=

5

2

，
解得：m=1或m=3．

点评：本题考查了三角形面积，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，旋转的性质，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，是一道比较好的题目．