Question

20．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．且a+b-c=m，①填表：②观察下表猜想：m×l=4S．（用含s的代数式表示）③证明②中的结论．

三边a、b、c	m	l×m	S
3、4、5	2	24	6
5、12、13	4	120	30
8、15、17	6	240	60

Answer 1

分析 ①根据周长的定义，直角三角形的面积公式求解即可；
②根据求得的a+b-c与l的值，总结其规律，写出即可；
③用m、c的式子表示出a、b，分别表示出其周长及面积，用面积除以周长即可完成证明．

解答 解：①l=3+4+5=12，
l×m=12×2=24，
S=3×4÷2=6；
l=5+12+15=30，
l×m=30×4=120，
S=5×12÷2=30；
l=8+15+17=40，
l×m=40×6=240，
S=8×15÷2=60；
填表如下：

三边a、b、c	m	l×m	S
3、4、5	2	24	6
5、12、13	4	120	30
8、15、17	6	240	60

②m×l=4S；
③证明：∵a+b-c=m，
∴a+b=m+c，
∴a²+2ab+b²=m²+2mc+c²，
又∵a²+b²=c²，
∴2ab=m²+2mc，
∴S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$m（m+2c），
∴4S=m（a+b-c+2c）=m（a+b+c）=m×l．
故答案为：4S；24，6；120，30；240，60．

点评 本题考查了勾股定理的相关知识，在完成证明时候关键是用到了完全平方公式，是一道中档考题．