Question

5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（8，6），B（3，2），C（9，2）．
（1）若点K以每秒移动$\frac{1}{2}$个单位长度的速度，从点C出发，沿射线CB方向运动，当AK恰好将△ABC的面积平分时，求点K运动的时间．
（2）若点K从点C出发，沿射线CB方向运动6秒时，当△AKB的面积为△ABC面积的$\frac{2}{3}$，求点K的运动速度．

Answer 1

分析 （1）设点K运动的时间为t，知CK=$\frac{1}{2}$t，由“AK恰好将△ABC的面积平分”知S_△ACK=$\frac{1}{2}$S_△ABC，据此列方程求解可得；
（2）设点K的运动速度为x单位/秒，则CK=6x，分点K在BC上和点K在BC延长线上两种情况，依据S_△AKB=$\frac{2}{3}$S_△ABC列方程求解可得．

解答 解：（1）设点K运动的时间为t，

则CK=$\frac{1}{2}$t，
∵A（8，6），B（3，2），C（9，2）．
∴BC=6，AD=4，
∵AK恰好将△ABC的面积平分，即S_△ACK=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$t×4=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×4，
解得t=6，
答：点K的运动时间为6秒；

（2）设点K的运动速度为x单位/秒，
则CK=6x，
当点K在BC上时，BK=6-6x，
由S_△AKB=$\frac{2}{3}$S_△ABC得$\frac{1}{2}$×（6-6x）×4=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×4，
解得：x=$\frac{1}{3}$；
当点K在BC延长线上时，BK=6x-6，
由S_△AKB=$\frac{2}{3}$S_△ABC得$\frac{1}{2}$×（6x-6）×4=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×4，
解得：x=$\frac{5}{3}$；
答：K的运动速度为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$个单位/秒．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质、一元一次方程的应用及分类讨论思想的运用，根据面积之间的关系列出方程是解题的关键．