Question

19．如图，已知AD与BC相交于点O，AB=CD，AD=BC，求证∠A=∠C；请把题中的结论∠A=∠C和已知条件AB=CD，AD=BC中的一个作为条件，另一个作为结论，形成真命题，并加以证明．

Answer 1

分析 连接BD，由SSS证明△ABD≌△CDB，即可得出∠A=∠C；由AAS证明△AOB≌△COD，得出对应边相等OA=OC，OB=OD，即可得出AD=BC．

解答 证明：连接BD，如图所示：
在△ABD和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\\{BD=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A=∠C；
真命题：已知：∠A=∠C，AB=CD，
求证：AD=BC，
证明：在△AOB和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{∠AOB=∠COD}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA+OD=OC+OB，
即AD=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟记三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．